※주의ㆍ이 글은 고등학교 미적분 과목의 지식 약간을 필요로 합니다.
우리는 오일러 등식이라는 이름으로 e^πi=-1이라는 것을 많이 봐왔을 겁니다. 그런데 대체 왜 그런걸까요?
아니 어떻게 지수에 허수가 들어가죠?
그 이유를 설명해드리겠습니다.
이렇게 지수함수와 같은 다항함수가 있다고 가정합시다.
이상한거 알아요 그래도 한번 해 보죠
여기에 x=0을 대입하면?
이런 결과가 나오죠
그 다음 양변을 미분해줍시다
그 다음 다시 x=0을 대입해주면?
이런 결과가 나옵니다. 한번 더 해보면
이걸 계속 반복하면?
이렇게 됩니다. 이제 x가 지수에서 내려왔으니
i를 대입할 수 있겠죠?
이거랑 똑같이 삼각함수도 해줍시다.
그러면 아까 e^x에 iθ를 대입 해 봅시다.
여기에서 실수부와 허수부를 분리해주면!!
놀랍게도 아까 그 사인 함수와 코사인 함수가 나오게 됩니다!!
그 뒤 θ자리에 π를 대입하면 i는 0이 곱해져 사라지게 되어 실수가 되어버립니다!!! 오일러 정말 대단하지 않나요?