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내가 페북하러간건지 수학하러간건지

어제 '0이 홀수인가 짝수인가?'를 묻는 게시물이 있길래 아무 생각 없이 '당연히 짝수지' 이러고 댓글 봤더니 정말 깜짝 놀랐습니다;;;
대부분이 '그냥 정수다' or '유리수다' 이러고 있길래... 더 충격적인건 '홀수도 짝수도 아니다'라는 말도 나오더군요;;;
결론부터 말하자면 0은 짝수가 맞습니다.
물론 정수인 것도 맞고, 유리수인 것도 맞지만... 질문자는 홀수인지 짝수인지(+어느 쪽에도 속하지 않는지)를 물어봤기 때문에 사실상 오답입니다.
'2분의 1(1/2)이 분수입니까?'라고 묻는다면, 보통 '분수입니다.'라고 대답하지, 굳이 '유리수입니다.'라거나 '실수입니다.' 혹은 '복소수입니다.'라고 대답하지 않는 것과 비슷한 이치입니다.
(왤케 설명 기냐는 분들 많아서 한마디 할게요. 아래에 있는 내용은 0이 짝수가 되는 수학적 근거고, 그 질문글에서 제가 간단히 설명을 해놓으니 이래저래 자꾸 반박이 나오고 그래서 아예 반박도 못하게 하려고 일부러 정의에 입각해서 명확하게 적은겁니다. 읽고 싶은 사람만 읽으시고, 읽기 싫으면 '0은 짝수다!'만 보세요. 그리고 홀수/짝수의 정의, 불능방정식/부정방정식의 정의 같은건 중학교 수학책 30분만 들여다 봐도 아는 내용이니 초등학생 분들은 걍 넘어가셔도 되고, 중학생인데 모른다? 설명충이니 장문이니 불평하지 말고 반성 좀 하세요.)



본론으로 들어가서...
짝수의 정의는 '정수 중에서 2로 나누어 떨어지는 정수'이며\, 다르게는 {x | x = 2n\, n은 정수}라고 나타낼수도 있습니다.
댓글 보다보니까 n에는 양의 정수만 넣어야 한다는 분들 몇몇 계시던데... 그렇다면 위의 집합에서 조건이 'n은 정수'가 아닌 'n은 양의 정수'라고 쓰여 있어야겠죠? 하지만 그냥 'n은 정수'라고 쓰여 있으므로 n에 음의 정수와 0을 대입할 수 있고, 한마디로 음의 정수와 0도 홀짝 판별이 가능하게 됩니다.
조건제시법을 해석하는 법은 중학교 수학 집합 단원에서 배웠을테니 넘어가겠습니다.
이제 n에 0을 넣어볼까요? x = 2 × 0 = 0이므로 0은 짝수가 됩니다.
한편 홀수의 정의는 '정수 중에서 2로 나누어 떨어지지 않는 정수'이고\, 다르게는 {x | x = 2n + 1\, n은 정수} 라고 나타낼수도 있습니다.
이 식에서는 어떠한 정수를 n에 대입해도 x의 값이 0이 나오지 않습니다. 따라서 0은 홀수가 아닙니다. 모든 정수는 짝수이거나 홀수이므로 홀수가 아니면 자연스럽게 짝수가 됩니다.
∴ 0은 짝수이다.

그런데 이걸 설명하니 어떤 분이 그렇게 하면 불능/부정방정식이 된다며 이의를 제기 하셨는데...
일단 불능/부정방정식의 정의를 볼까요.(수학은 항상 정의가 제일 중요한 학문입니다.)
불능방정식은 0x = 1과 같은 식입니다. x에 어떠한 수를 대입해도 1이 나오지 못하죠. 즉, "해가 없는 경우"를 불능이라고 합니다. 그런데 위의 정의를 다른 표현으로 바꾸어 x/2 = n ... 0(x는 정수)(몫은 n이 나오고 나머지는 0)이 되는 식으로 세운다면, x에 ... -4, -2, 0, 2, 4, ...를 대입하면 해가 나오겠죠? 따라서 불능방정식이 아닙니다.
그렇다면 부정방정식일까요? 부정방정식은 0x = 0과 같은 식입니다. x에 어떤 수를 대입해도 0이 되는거죠. 즉, x의 해는 수 전체이며, "해가 무수히 많은" 경우를 부정방정식이라고 합니다. 그런데 위의 x/2 = n ... 0(x는 정수)(몫은 n이 나오고 나머지는 0)라는 식에선 x에 ... -3, -1, 1, 3, ...을 대입하면 이들은 해가 아님을 알수 있죠? 따라서 부정방정식도 아닙니다.

궁금증이 해결 되었길 바라며 장차 우리나라를 이끌어나갈 여러분들을 위해... 쓰다보니 좀 길게 쓰여졌네요.
결론은 정의와 기본에 충실하라...가 되겠습니다.
제가 설명드린 내용에 대해 궁금한 점 있으면 페메로 문의해주세요.

아래 내용은 호기심 가는 사람만 읽어보세요.









0은 자연수일까요, 아닐까요?
'정답은 정의하기에 따라 다르다' 입니다.
이러면 '??? 중학교에선 0을 정수라고 배웠는데요?'라고 하시겠죠?
우리가 흔히 알고 있는, 자연수(N)를 {1, 2, 3, 4, 5, ...}으로 정의하는 방법은 '페아노 공리계'라고 합니다. 0을 포함하지 않는게 보이죠?
한편, 자연수를 {0, 1, 2, 3, 4, 5, ...}로써 정의하게 되면 이는 '범자연수'라고 합니다.
두 공리계의 정의는 다소 복잡하므로 건너뛰겠지만, 첫번째 원소가 1에서 0으로 바뀐것 말고는 완전히 똑같습니다. 다만 이로써 '0을 포함하는 공리계'에서는 덧셈/곱셈의 정의가 '0을 포함하지 않는 공리계'에서 정의하는 덧셈/곱셈의 정의(우리가 덧셈/곱셈이라는 말을 들으면 바로 떠오르는 그것)와 달라지게 됩니다.
예를 들면, '0을 포함하지 않는 공리계'에서의 덧셈의 정의를 따르면 '1 + 1 = 2'라는 정상적인 결과가 나오지만, '0을 포함하는 공리계'에서 무작정 첫번째 원소를 1에서 0으로 바꾸고 '0을 포함하지 않는 공리계'에서의 덧셈의 정의를 따라버리면 '0 + 0 = 1'이라는, 직관적으로 정말 '???'스러운 결과가 나오게 되죠. (※ 수학적으로는 전혀 문제가 없는 겁니다!)

이와 같은 결과가 나오는 이유는
자연수의 덧셈의 정의 중 첫번째는
(A1) 임의의 자연수 n에 대하여 n + 1 = n^+
입니다.
저기에서 왜 +1이 있느냐, 이건 '0을 포함하지 않는 공리계'에선 첫번째 원소가 1이기 때문입니다.(사실 엄밀히 따지면 더 복잡하고 어려워지므로 이정도로 줄이겠습니다.)
그렇다면 '0을 포함하는 공리계'에선
(A1') 임의의 자연수 n에 대하여 n + 0 = n^+
으로 바뀌겠죠.

즉, 숫자 하나 바꿨는데 직관에서 훅 멀어지는거죠.
물론 이는 수학적으로는 문제가 없습니다. 숫자를 0부터 시작하고 (A1) 대신 (A1')을 가정하여 보면 간단하게 답이 나오게 됩니다.
증명을 간단하게 하자면
n + 1 = n + (0^+) = (n + 0)^+ = n^+
가 됩니다.
이걸 이용해서
1+1=2임을 '0을 포함하는 공리계'에서 증명하면
1 + 1 = 1 + (0^+) = (1 + 0)^+ = 1^+ = 2
가 됩니다.

물론, 현재 학계에서든 서적들에서든 0을 자연수의 첫번째 수로 놓냐, 1을 자연수의 첫번째 수로 놓냐에 대해서 명확하게 합의된 바는 없습니다.
그렇다면 왜 굳이 0을 자연수에 넣었느냐? 하면...
현대의 집합론에서는 체르멜로의 자연수의 집합에 대한 정의(0=∅, n^+(= n + 1) = {n}(우리가 흔히 자연수는 '1에 1을 더하고, 이후의 수에 1씩을 더해서 나오는 수'라고 떠올리는 것과 비슷합니다)를 존 폰 노이만이 재정립한 것(0=∅, n^+ = n ∪ {n})을 쓰는데, 이에 따르면 자연수는 0부터 시작하기 때문입니다. 집합을 배웠다면 조금만 들여다봐도 저 정의들이 이해하기 어렵지 않죠?
또 연산을 할때, 항등원(0, 1 따위)이 있는게 차이가 크기 때문이라고도 합니다.

긴 글 읽어주셔서 감사합니다. ^^

뭔 이딴게 다있어 근데 이거 뭔 개소리임