안녕하세요 오랜만에 다시 들릅니다. 오늘은 닷지에 대한 분석과 닷지를 할지 말지 결정하는, 닷지 공식을 제시하고자 합니다.
이전과 마찬가지로 글로 죽 풀어나갈텐데.. 이번에는 다양한 수식과 그래프가 있으니 추가 정보나 이해가 더 잘 되길 원하신다면, 맨 아래 올려드린 영상을 보는 것을 추천드립니다. ----------------------------------------------
최근에 도파님이 영상 하나를 올렸죠. '솔랭 점수 올리는 법'
저라뎃님을 디스하는 재밌는 내용이지만, 메시지는 명확합니다. '필요할때는 닷지하라'
카드 게임에서 안 좋은 카드를 바꾸는 거나, 칼바람에서 안 좋은 챔피언을 바꾸는 거나, 본인이 판단했을 때 별로라고 생각되면 바꾸는 게 이득인 경우가 많습니다.
괜찮으면 그대로 가고 안 괜찮으면 바꾼다는 것, 본인의 선택으로 위험을 회피한다는 것으로 인해 유리해질 가능성이 높아집니다.
그에 대한 대가로 칼바람에서는 주사위이고, 랭크에서는 LP 와 일정 시간이므로 할만하죠. (MMR 은 그대로니까요)
그러면 닷지는 언제 해야할까요?
우리팀이 픽창에서 싸우기 시작할 때, 이상한 캐릭을 고를때 등등 다양합니다.
일반적인 경우라면 우리 팀원들이 고른 캐릭의 승률을 확인하겠죠.
다들 막연하게는 판단할 수 있습니다. 대충 다들 높은 편이면 고하고, 대충 다들 낮은 편이면 닷지하고, 누군가 정말 승률이 안 좋으면 닷지하고 등등.. 하지만 애매한 경우에 대해서는 잘 판단하지 못할 것입니다.
도파님/저라뎃님을 예시로 들어보겠습니다. (당연한 거지만 도파님 저라뎃님 모두 잘하시는 분들입니다. 예시일 뿐입니다!) 도파님이 저라뎃님과 같은 팀이 되어서 도파님이 닷지 할지 말지를 고민합니다. 간단하게 나머지 3명은 50% 라고 가정하겠습니다.
그러면 도파님은 본인이 고른 캐릭의 승률과 저라뎃님이 고른 캐릭의 승률을 확인할 것입니다. 50%/50% 이면 반반이니 할만하겠죠. 50%/40% 이면 닷지할테고, 60%/50% 이면 고하는게 이득이겠죠.
하지만 60%/40% 이면 닷지하는게 좋을까요 아닐까요? 2명을 예로 들었는데, 나머지 사람들의 승률도 제각각이면 어떻게 해야 할까요?
수학의 확률을 이용하여, 닷지할지 말지 판단할 수 있는 간단한 닷지 공식을 제안드리겠습니다.
(수식이나 세부 설명이 헷갈리시면 영상을 참고하시기 바랍니다.)
승률이라는 것은 (승리 확률) / (모든 확률) 로 나타낼 수 있습니다.
롤은 제로섬 게임입니다.
비기는 경우가 없고 누군가가 이기면 누군가는 반드시 지게 되어있습니다.
그러므로 (승리 확률) / (승리 확률 + 패배 확률) 로 나타낼 수 있습니다.
다시 도파님/저라뎃님을 예시로 들어보겠습니다. 도파님과 저라뎃님이 같은 팀이 되었습니다. 도파님이 승리할 확률을 p, 저라뎃님이 승리할 확률을 q 로 둡니다.
그러면 도파님과 저라뎃님의 승패 여부에 따라 총 4가지 경우가 나옵니다. 승리/승리 = pq 승리/패배 = p(1-q) 패배/승리 = (1-p)q 패배/패배 = (1-p)(1-q)
여기서 승리/패배, 패배/승리는 불가능합니다. 두명은 같은 팀이니까요. 승리/승리로 인해서 승리하게 되거나, 패배/패배로 인해서 패배하는 경우만 존재합니다.
이걸 승률 식에 적용해보면, (승리 확률) / (승리 확률 + 패배 확률) = pq / (pq + (1-p)(1-q)) 가 됩니다.
닷지할지 말지는 승률이 50% 보다 크냐 작냐로 결정할 수 있습니다.
50% 보다 크면 그대로 하는거고 50% 보다 작으면 닷지하는 것이죠.
결국 저 승률 식이 50% (1/2) 가 되는 지점이 기준점이 되는 것입니다.
pq / (pq + (1-p)(1-q)) = 1/2 식을 전개하면, pq = (1-p)(1-q) 가 되고, p + q = 1 이 됩니다.
즉, 도파님과 저라뎃님의 승률을 더해서 100% 보다 높으면 겜을 진행하고, 100% 보다 낮으면 닷지하시면 됩니다. (두명의 승률 평균이 50% 가 되는지 보는 것이죠)
아까 예로 들었던 60%/40% 의 경우에는 합하면 100% 가 되므로, 할만하므로 그대로 겜을 진행해도 되는 것입니다.
p + q = 1 을 2명을 기준하는 닷지 공식으로 삼을 수 있습니다.
2명일때를 설명드렸고 3명일때를 설명드리겠습니다.
재밌는 영상을 제공해주신 미야님을 추가하겠습니다.
도파님/저라뎃님/미야님이 각각 이길 확률이 p/q/r 입니다.
그러면 승률 식은 pqr / (pqr + (1-p)(1-q)(1-r)) 이 됩니다.
이게 50% 가 된다고 두고 식을 전개해보면 됩니다.
pqr = (1-p)(1-q)(1-r) 가 되고,
p + q + r = ???
아쉽게도 2명일때처럼 간단한 공식으로 정리되지는 않습니다.
이유를 간단히 말씀드리면, (영상에서는 3차원 그래프를 움직이면서 설명해드리니 참고해주세요) 간단한 공식이 나오려면 그래프를 그렸을때 평면의 형태를 보여야 합니다. 하지만 pqr / (pqr + (1-p)(1-q)(1-r)) 가 1/2 이 되는 p/q/r 의 분포를 그려보면, 전체적으로 곡면의 분포를 보입니다. 그렇기 떄문에 간단한 공식으로 정리되지 않습니다.
하지만 여러분에게 외우기 쉬운 간단한 공식을 제안드려야 하기 때문에, p/q/r의 분포를 바탕으로 근사식을 도출하여 공식으로 만들었습니다. 근사식은 p + q + r = 3/2 입니다. 이 근사식 또한 3차원 상에 그래프로 그려보면, p/q/r 의 값이 0.3~0.7 사이에 있는 경우 승률식과 크게 차이가 안 나며, 그 구간에서의 승률식 또한 곡면보다는 평면에 가깝게 됩니다. 대부분의 승률은 실제로 0.3~0.7 사이에 있는 경우가 대부분이므로, 이 근사식을 쓰는데 큰 무리가 없게 됩니다.
즉, 도파님/저라뎃님/미야님의 승률을 더해서 150% 보다 높으면 겜을 진행하고, 150% 보다 낮으면 닷지하시면 됩니다. (마찬가지로 3명의 승률 평균이 50% 가 되는지 보는 것이죠)
p + q + r = 3/2 을 3명을 기준하는 닷지 공식으로 삼을 수 있습니다.
대신 2명일때와 달리 3명일때는 3명의 승률이 0.5에서 멀어질수록,
이 공식의 정확도는 점점 낮아지게 됩니다.
롤은 5명이 한팀입니다.
그러므로 4명/5명도 설명드려야 겠죠?
하지만 그러려면 4차원/5차원 으로 설명드려야 하기 때문에, 그림이나 글로는 설명할 수가 없습니다. 하지만 강한 가정을 이용한다면 수식으로 설명이 가능합니다. 여기까지 수식을 보면 감이 오시겠지만 임의의 사람수에 대해서 기준하는 식은, p1 p2 ... pn = (1-p1) (1-p2) .... (1-pn) 을 정리하면 됩니다.
여기에 강한 가정을 이용한다면 아래와 같이 정리할 수 있습니다. p1 + p2 + ... pn ~= (1-p1) + (1-p2) + .. + (1-pn) (~= 은 어느정도 같다는 표현식입니다.)
여기서 다시 아래와 같이 정리 가능합니다. p1 + p2 + ... pn ~= n / 2
결국 계속 말씀드렸던 것처럼 4명이면 합이 200%, 5명이면 합이 250% 가 되는지 확인하면 됩니다. 2명이든 3명이든 4명이든 5명이든 승률 평균이 50% 보다 큰지 작은지를 보면 되는 것이죠. 대신 2명에서 3명으로 갈때처럼, 각각의 승률이 0.5 에서 멀어질수록 공식의 정확도는 낮아지게 됩니다. 4명/5명에서는 더 심해지게 되죠. 하지만 3명일때 말씀드린 것처럼 각각의 승률이 0.5 부근이라면 저 공식을 써도 큰 문제가 없습니다.
오늘 설명드릴 내용은 여기까지입니다.
닷지할지 말지에 대해서 수학의 확률을 이용해보았고,
이를 통해 간단한 공식을 만들어 제안드렸습니다.
막연하게 경험적으로 이정도면 괜찮지 않을까? 생각했던 거랑 비슷할 수 있습니다. 하지만 40%/60% 이런 경우는 판단하기 애매했겠죠. (곱해야 하나 더해야 하나 등등..)
간단히 말해서 확인하는 사람들의 평균 승률이 50% 보다 높은지 낮은지 보면 됩니다. 사람수가 많아질수록 오차가 많아지니, 이왕이면 승률이 50% 에서 많이 벗어난 2명을 가지고 계산하시는걸 추천드립니다. 앞으로 게임할때 유용하게 쓰실 수 있길 바랍니다.
긴 글 읽어주셔서 감사합니다! 아래에 표시된 영상은 위 내용에 대해 좀더 자세하게 설명하고, 영상 자료를 이용했기 때문에 좀더 이해가 쉬울테니 참고하세요. https://youtu.be/ijd_zT8oAiY
또한 인벤에 올린 분석 글과 함께 다른 분석 내용도 다룬 재생목록을 첨부하니, 이러한 분석 글에 흥미가 있으신 분들은 참고하시기 바랍니다! https://www.youtube.com/playlist?list=PLXGKzyzHAjuNFEh0PZ7o7J8Zjm4ONx7bj
감사합니다~